正規分布から確率を求める問題の解き方(統計学・確率)

統計学
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正規分布から確率を求める問題の解き方(統計学・確率)

(このページは随時問題を追加していきます)

 

問題1:データXがある値(A)以上になる確率

(統計検定2級でよくあるタイプの問題)

・問題

20歳~25歳の男性の身長が、平均170cm、標準偏差5cmの正規分布をすると仮定する。この時に身長180cm以上の人が抽出される確率はいくらですか?

 

・解き方

①:正規分布の標準化を行い、z値を求める

    $$z= \frac{x-\mu}{\sigma}$$

標準化(normalization)を行なえば、どのような平均μ(ミュー)と標準偏差σ(シグマ)をもった正規分布でも標準正規分布に変化させることができます。

 

問題文の場合、数値を当てはめて

    $$z= \frac{180-170}{5}=2.0$$

となりました。

 

※:z値は正しくは標準化正規変数(standardized normal variable)または標準正規変数(standard normal variable)と呼ばれます。

 

すなわち確率

P(z≧2.0)

を求めればよいことになります。

 

②:標準正規分布表で読み取る(標準正規分布表の読み方)

標準化を行ない、z値⁼2.0が出ました。あとは標準正規分布表から、z値を読み取ればOK。

標準正規分布表(上側確率)

 

・標準正規分布表の読み方

標準正規分布表(上側確率)とは、標準正規分布においてその値以上の値を取る確率を表しています。

 

実際に正規分布表を読み取る際は、「左見出しにある数値」と「上見出しにある数値」を組み合わせて読み取ります。

例えばZ⁼1.96の場合、「左見出しにある1.9」と「上見出しにある0.06」を交差させて読みことに。

すると、0.02500(2.5%)であることが分かります。

 

問題に戻って、Z⁼2.0を正規分布表にて読み取ると、0.0228(2.28%)。

 

すなわち、

P(z≧2.0)⁼0.0228

2.28%であることがわかりました。

 

 

【類題】

ある試験において、得点分布が平均58点、標準偏差10点の正規分布にしたがう場合、上位10%に入るためには、何点以上を取る必要があるでしょうか。

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